Sollte man beim Bogenschießtraining auch mal mit dem anderen Arm den Bogen spannen?

Beim Bogenschießen kommts aufs Auge an, mit dem du am besten das Ziel avisieren kannst. Entsprechend wird entweder mit rechts oder links der Bogen gespannt.
Beim normalen Bogenschießen kommt es selten zur einseitigen Überbelastung der Schulter.

Nein, wenn du dir die meisten Bögen mal anguckst, wirst du auch feststellen, dass das garnicht geht.

Die meisten Bögen haben eine Pfeilauflage, und zwar nur auf einer Seite. Die Seite wechseln könnte man nur bei sehr traditionellen Bögen (englischer Langbogen oder Yumi, als Bögen, die in der japanischen Bogenkunst Kyudo geschossen werden).

Zudem entscheidet über die Seite, mit der du schießt, nicht, ob du Links- oder Rechtshänder bist, sondern ob dein dominantes Auge links oder rechts ist. Die meisten Rechtshänder sind auch "Rechtsauge" und die meisten Linkshänder sind auch "Linksauge" - aber nicht alle. Ein Rechtsauge hält den Bogen in der linken Hand und spannt mit rechts, ein Linksauge macht es umgekehrt und hält den Bogen in der rechten Hand und spannt mit links. Ansonsten hast du perspektivische Verzerrungen drin mit denen du nicht rechnest und schießt den Pfeil ziemlich übel daneben.

Im Kyudo ist es allerdings tatsächlich so, dass abwechselnd rechts und links geschossen wird. Das hat damit zu tun, dass Kyudo-Meister oftmals so gut schießen, dass ihnen viel zu häufig ein "Robin" gelingt, also ein Pfeil-in-Pfeil-Schuss á la Robin Hood der den unteren Pfeil natürlich spaltet oder zumindest ihm nahe genug kommt, um ihn zu beschädigen. Das geht auf Dauer tierisch ins Geld und so versucht man die Treffsicherheit ein wenig zu schmälern.

Wenn das Schießen zu anstrengend wird, war vielmehr einfach der Bogen zu stark, beim nächsten Mal den Trainer nach einem Bogen mit weniger Zuggewicht fragen.