Hallo Renata!
Ganz klares JA, eine Auslandsreise-Krankenversicherung ist unbedingt zu empfehlen. Die gesetzliche Krankenkasse springt ein - aber nur in der Höhe, die die Behandlung in Deutschland gekostet hätte. Und du musst die Behandlung im Ausland vorschiessen, sofern du nicht den Auslandskrankenschein der GKV mit hast. Und: Du kannst im Notfall leider nicht entscheiden, ob du als "normaler" Patient oder als Privatpatient im Ausland behandelt wirst. Auf diese "Luxuskosten" - auf die du ja keinen Einfluss nehmen konntest - bleibst du sitzen. Bei der Auslandsreise-KV hast du den Vorteil, dass du bei größeren Sachen dich dort meldest und die geben eine Deckungszusage an das Krankenhaus. Du musst also die Behandlungskosten nicht vorfinanzieren. Außerdem bietet die Auslandsreise-KV auch den - wenn medizinisch begründet - Rückflug bzw. Rücktransport, für den die GKV keine Cent zahlt. Diese Versicherung kostet ca. 10 EUR pro Person - die solltest du dir unbedingt leisten!
Erstattet bekommst du übrigens immer die Kosten, die nach Abzug der Leistung der Gesetzlichen Krankenkasse übrigbleiben.
Empfehlen könnte ich dir eine, darf und will das aber hier nicht. Aber du könntest bei test.de (Stiftung Warentest) mal schauen, die haben das irgendwann mal getestet.
Viele Grüße
Kermit
(Versicherungsfachmann)