Krankgeschrieben bis einschließlich ersten Urlaubstag - muss ich zu Hause bleiben?

Da war ich zu langsam.

Wenn es nur um einen Wochenendtrip geht, brauchst du wohl keine Zustimmung des Arbeitgebers.
Du solltest dich nur entsprechend deiner Krankheit verhalten, um Montag nicht wieder flach zu liegen.

Du darfst nichts tun, was der Genesung schadet. Je nach Situation und Erkrankung ist im Krankenstand auch eine Reise durchaus möglich.
Einer geplanten Reise muss aber derjenige zustimmen, der während der Erkrankung Zahlungen leistet: der Arbeitgeber, wenn noch keine sechs Wochen vergangen sind, die Krankenkasse danach. Wenn du ohne Genehmigung wegfährst, riskierst du die Einstellung der Lohnfortzahlung beziehungsweise des Krankengeldes.

Da du für Freitag noch krankgeschrieben bist, wird dir der Urlaubstag wieder gutgeschrieben. Im Gegenzug muss dein Chef aber deiner Reise zustimmen. Es kann ja durchaus sein, dass du Freitag noch nicht wieder gesund bist und weiterhin krankgeschrieben wirst.
Möchtest du das nicht und geht es dir wieder gut, kannst du auch morgen mit dem Arzt sprechen und dich ab Freitag wieder gesundschreiben lassen.

Ich bin das Wochenende bei einer Freundin zu Besuch in Köln. Würde auch erst Samstag fahren, nur liegt das Zugticket schon bei mir zuhause.

Würde Donnerstag bzw. Freitag auch auf eigene Verantwortung wieder arbeiten gehen, nur ist unser Betrieb dort geschlossen.

Nein, zu Hause bleiben musst du nicht, aber du darfst nichts machen, dass deinem Gesund werden entgegen wirkt.
Freitag ist dann für dich auch kein Urlaubstag sondern ein Krankheitstag, wenn du die Krankmeldung abgegeben hast.
Es kommt ganz darauf an, weg fahren.... Was machst du denn genau???